Cet atelier est centré autour du « nombre d’or » et de « l’angle d’or ». Il peut être adapté à différents publics. En 2025, nous l’avons présenté à Soustons lors du « Printemps des Poètes » puis à Rivière-Saas-Gourby lors d’une journée sur la transition écologique organisée par l’association « Les Petits Ruisseaux » et enfin, de nouveau à Soustons, lors de la « Fête de la Nature ».

Quel est le lien me direz-vous entre ce nombre et la « Nature » ? De fait, le « nombre d’or » représente une proportion qui, dans l’Antiquité, était la clef pour construire un pentagone (avec un compas et une règle). Or en assemblant une douzaine de pentagones on peut construire un dodécaèdre régulier qui est un des 5 solides de Platon. Si les 4 autres représentaient les « éléments » (terre, eau, air et feu), le dodécaèdre serait une image de l’Univers … Ouf ! si ça c’est pas de la Nature !

Qui dit Univers, évoque aussi l’harmonie, la beauté. Cet aspect du « nombre d’or » ou de la « proportion dorée », a été recherché dans des constructions antiques (pyramide de Khéops), temples (Parthénon), sculptures (statue d’Athéna par Phidias),… En faisant le rapport entre différentes mesures, choisies sur ces réalisations, on pouvait trouver des valeurs proches du nombre d’or. Beaucoup plus près de nous, des peintres célèbres, comme P. Mondrian et G. Seurat, ont conçu des tableaux basés sur la proportion dorée. L’architecte Le Corbusier a construit de grands immeubles, dans les années 1960, dans lesquels toutes les proportions étaient « dorées » (hauteur des plafonds, largeur des portes, aménagements intérieurs, mobilier, …). En référence à Phidias, paraît-il, on note habituellement le nombre d’or par la lettre φ.

Un dodécaèdre régulier. Chaque face et un pentagone. Le pentagone fourmille de la présence du nombre d’or. Par exemple, le rapport entre la longueur d’une diagonale et celle d’un côté est égal à φ. Pour plus de détails veuillez consulter le poster pentagone.jpg qui est dans les pièces jointes

De manière plus directe, on retrouve le nombre d’or ou, plus précisément des approximations de sa valeur, dans la répartition des fleurons (ou des graines) de fleurs composées ainsi que des feuilles sur la tige de certaines plantes. Si l’on remonte vers les années 1200, Leonardo Fibonacci proposa une suite de nombres dont le suivant est la somme des deux qui le précèdent. Si l’on démarre par 0 et 1, la suite est alors : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Si vous calculez le rapport entre un nombre de cette suite avec celui qui le précède, vous obtenez : 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3=1,66.., 8/5=1,6, 13/8=1,625, 21/13=1,615.., 34/21=1,619.., 55/34=1,617… Ces valeurs convergent vers celle de :

                                                        φ = (1+√5)/2 = 1,618..

Les nombres de la suite de Fibonacci permettent d’obtenir des valeurs approchées du nombre d’or. On peut retrouver ces nombres en examinant de nombreuses plantes ; quelle en est la raison ?

Découverte de φ et de la suite de Fibonacci

φ et « l’harmonie »

Dans le document joint (tests_harmonie.pdf) nous expliquons comment nous avons essayé de vérifier si la proportion dorée paraissait plus attrayante. Nous discutons les résultats obtenus et nous proposons des voies afin d’améliorer le test.

La suite de Fibonacci et les valeurs approchées de φ

Nous avons vu qu’en calculant les rapports entre un nombre de cette suite avec celui qui le précède, on obtenait des valeurs de plus en plus précises de φ. Ceci est illustré dans le document joint (tests_fibonacci.pdf) avec notamment la réalisation de pavages utilisant des carrés afin de former des rectangles dont les proportions sont celles obtenues en utilisant soit la suite de Fibonacci ou bien le nombre d’or.

Croissance des plantes, nombre et angle d’or

Croissance des plantes

Prenons l’exemple de l’apparition de feuilles sur une branche. Tout se passe au niveau du bourgeon terminal. Un petit groupe de cellules (primordium) apparait régulièrement au centre du bourgeon puis se déplace vers l’extérieur et adopte une position éloignée des autres primordiums déjà créés, à mesure que la plante grandit. Chaque primordium crée une zone de « sécurité, à l’intérieur de laquelle il ne peut pas y avoir un autre primordium. Les ébauches de feuilles apparaissent ainsi, régulièrement espacées, sur une hélice (dite génératrice) qui s’enroule autour de la tige. Par rapport au centre de la tige, l’angle entre deux primordiums consécutifs est noté θ. Pour de nombreuses plantes ayant des feuilles alternes on a constaté que cet angle était voisin de l’angle d’or :

                                                      Θ_or = 360° / φ² » 137,5°

Ce phénomène s’explique simplement en cherchant quelle est la manière de disposer des disques sur un cylindre (chacun représentant la zone d’exclusion occupée par une feuille) en réalisant une couverture qui soit la plus compacte possible (voir l’article de Y. Couder et S. Douady dans Pour la Science, numéro spécial 44, 2004). En observant de tels empilements on remarque que les feuilles s’alignent également suivant des hélices, tournant dans des sens opposés, qui sont différentes de la génératrice, appelées parastiques.

Leurs nombres dépendent du rapport (T) entre le diamètre de la zone d’exclusion et celui de la tige. Lorsque T est voisin de 1, on obtient les valeurs 1 et 2. Au fur et à mesure de la croissance, T diminue et d’autres couples de valeurs sont observées … qui sont celles de la suite de Fibonacci. Ce phénomène s’observe également sur la disposition des écailles des fruits des conifères ainsi que pour les fleurons sur les capitules de fleurs composées. De nombreux exemples sont disponibles dans le numéro 22 des Carnets botaniques édité par la Société Botanique d’Occitanie et rédigé par Ph. Durand.

L’atelier proposé ici (végétaux_et_fibonacci.pdf) a consisté à vérifier ce phénomène en utilisant, principalement, le pin des Landes ainsi que d’autres végétaux.

Remarques pour conclure

Le thème général, « Le nombre d’or dans la Nature », permet de servir de support à plusieurs sujets de réflexion dont voici une liste que vous pouvez compléter :

+ nous n’avons pas tranché sur l’aspect « nombre d’or et harmonie » et laissé la question en suspens. Y a-t-il, chez l’homme, une tendance à trouver plus harmonieux des objets, tableaux, constructions, … qui ont la proportion donnée par le nombre d’or ? Il n’est pas aisé de le mesurer.

+ en fonction de l’âge et des connaissances des participants, les ateliers proposés sont adaptables :

• cela peut être la découverte de « bizarreries » en observant la nature ;
• on peut ensuite essayer tout d’abord de s’assurer que ces « bizarreries » sont bien réelles et pas engendrées par la manière dont on fait les observations :
• on peut également essayer de comprendre quelle est l’origine de ces « bizarreries » : proposer des explications, voir comment on peut les vérifier, ….

En résumé : une approche de la « méthode scientifique ».